Question

CMR với mọi số dương a,b,c ta có :

\(a^2\left(b+c-a\right)+b^2\left(a+c-b\right)+c^2\left(a+b-c\right)\le3abc\)

Answer 1

Vì vai trò của a,b,c là như nhau , nên có thể giả thiết \(a\ge b>c>0.\)

Có thể thấy rằng phải chứng minh : \(B\ge0,\)với

\(B=3abc+a^3+b^3+c^3-a^2b-b^2a-a^2c-b^2c-c^2a-c^2b\)

\(=a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)+c\left(2ab-a^2-b^2\right)+c\left(c^2-bc-ac+ab\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)-c\left(a-b\right)^2+c\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)

\(=\left(a-b\right)^2\left(a+b-c\right)+\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)

Do giả thiết \(a\ge b\ge c,c>0\)

\(\RightarrowĐPCM\)