Question

CMR nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân

Answer 1

Giải:

Ta có: \(BK=CH\left(gt\right)\Rightarrow\dfrac{2}{3}BK=\dfrac{2}{3}CH\Rightarrow IB=IC\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{3}BK=\dfrac{1}{3}CH\Rightarrow IK=IH\)

Xét \(\Delta HIB,\Delta KIC\) có:

\(\widehat{HIB}=\widehat{KIC}\) ( đối đỉnh )

IH = IK ( cmt )

IB = IC ( cmt )

\(\Rightarrow BH=CK\) ( cạnh t/ứng )

\(\Rightarrow2BH=2CK\Rightarrow AB=AC\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A

Vậy nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân

Answer 2

Gọi Δ ABC có trung tuyến BM = CN, G là trọng tâm Δ (giao điểm các trung tuyến)
Ta có :
GB = 2/3.BM
GC = 2/3.CN
Mà BM = CN => GB = GC
=> Δ BGC cân tại G
=> ∠ MBC = ∠ NCB
Xét Δ BMC và Δ CNB :
BM = CN
∠ MBC = ∠ NCB
BC là cạnh chung
=> Δ BMC = Δ CNB (c - g - c)
=> ∠ MCB = ∠ NBC
hay ∠ ACB = ∠ ABC
=> Δ ABC cân tại A (đpcm)