Question

CMR : a² + b² + 1 > ab + a + b 

Answer 1

Vì \(a^2\)\(\ge\)0; \(b^2\)\(\ge\)0; 1>0 nên ta áp dụng bất đẳng thức Cosi cho từng cặp ta có:

\(a^2\)+\(b^2\)\(\ge\)2\(\sqrt{a^2b^2}\)=2ab    (1)

\(a^2\)+1\(\ge\)2\(\sqrt{a^21}\)=2a          (2)

\(b^2\)+1\(\ge\)2\(\sqrt{b^2.1}\)=2b         (3)

Cộng vế với vế của (1); (2) và (3) ta có:

2\(a^2\)+2\(b^2\)+2\(\ge\)2ab+2a+2b

\(a^2\)+\(b^2\)+1\(\ge\)ab+a+b( chia cả 2 vế của Bất phương trình cho 2)

Dấu = xảy ra khi a=b=1

Answer 2

Ta có : a^2 + b^2 > 2ab

            b^2 + 1 > 2b

            a^2 + 1 > 2a

=> 2(a^2 + b^2 + 1) > (2ab + 2a + 2b)

<=> (a^2 + b^2 + 1) > ab + a + b