Question

chứng tỏ rằng hai số n+1 và 3n+4(n thuộc N) là hai số nguyên tố cùng nhau

c

Answer 1

Gọi x là UCLN[n+1; 3n+4] với x thuộc N*

=> [n+1] chia hết cho x và [3n+4] chia hết cho x

=> 3.[n+1] chia hết cho x và [3n+4] chia hết cho x

=> [3n+3] chia hết cho x và [3n+4] chia hết cho x

=> [3n+4] - [3n+3] chia hết cho x

=> 1 chia hết cho x

=> x thuộc Ư[1] mà d thuộc N*

=> x = 1

Vâỵ với mọi n thuộc N thì n+1 và 3n +4 nguyên tố cùng nhau.

Answer 2

Gọi ước chung của n + 1 và 3n + 4 là d.

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}n+1⋮d\\3n+4⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3.\left(n+1\right)⋮d\\3n+4⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3n+3⋮d\\3n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow3n+4-3n-3⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)\Rightarrow d\in\left\{1,-1\right\}\)

Vậy n + 1 và 3n+4 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Answer 3

Gọi ƯCLN(n+1; 3n+4) là d \(\left(d\in N;d>0\right)\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n+1⋮d\\3n+4⋮d\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3n+3⋮d\\3n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow3n+4-\left(3n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy n+1 và 3n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau