Hơi nhầm xíu 113 . 7^2+8^2=113 cứ tưởng 112. Hơi ngáo tí =[[
Lời giải
Biến đổi tương đương ta được: \(L=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{41}+\dfrac{1}{61}+\dfrac{1}{85}+\dfrac{1}{113}=\dfrac{1}{1^2+2^2}+\dfrac{1}{2^2+3^2}+\dfrac{1}{3^2+4^2}+\dfrac{1}{4^2+5^2}+\dfrac{1}{5^2+6^2}+\dfrac{1}{6^2+7^2}+\dfrac{1}{7^2+8^2}\)
\(L=\dfrac{1}{1^2+\left(1+1\right)^2}+\dfrac{1}{2^2+\left(2+1\right)^2}+...+\dfrac{1}{7^2+\left(7+1\right)^2}\)
Chứng minh 1 bđt cơ bản sau: \(n^2+\left(n+1\right)^2>2n\left(n+1\right)\) thật vậy:
\(n^2+\left(n+1\right)^2=n^2+n^2+2n+1=2n^2+2n+1=2n\left(n+1\right)+1>2n\left(n+1\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{n^2+\left(n+1\right)^2}< \dfrac{1}{2n\left(n+1\right)}\)
trở lại bài toán ta có: \(L< \dfrac{1}{2.1.2}+\dfrac{1}{2.2.3}+...+\dfrac{1}{2.7.8}\)
\(L< \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+..+\dfrac{1}{7.8}\right)=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+..+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8}\right)=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{8}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{16}< \dfrac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Đề sai đúng hk? CHỗ kia 112 chứ lấy đâu ra 113
p/s : 7^2+8^2=112. =))
Nếu cứ khăng khăng là 113 đúng thì bạn hãy cứ giữ suy nghĩ đó đi.
Đề bài tổng quát:
\(B=\dfrac{1}{n_1^2+\left(n_1+1\right)^2}+\dfrac{1}{n^2_2+\left(n_2+1\right)^2}+...+\dfrac{1}{n^2_n+\left(n_n+1\right)^2}\)
2 số chính phương liên tiếp cộng với nhau không có thể là 113. T tính ra 112 nên nghĩ you viết nhầm thôi.
Nếu k tin thì tối đi học xem đề thế nào nhé,t khẳng định luôn,đề này là 112
\(B=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{41}+\dfrac{1}{61}+\dfrac{1}{85}+\dfrac{1}{113}\)
\(B< \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{40}+\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{85}+\dfrac{1}{110}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5.2}+\dfrac{1}{5.3}+\dfrac{1}{5.8}+\dfrac{1}{5.15}+\dfrac{1}{5.17}+\dfrac{1}{5.22}=B_1\)
\(5B_1=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{17}+\dfrac{1}{22}< 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}=B_2\)\(B_2=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{10+5+4+3}{10}=\dfrac{22}{10}< \dfrac{25}{10}\)
\(5B_1< \dfrac{5}{2}=>B_1< \dfrac{1}{2}=>dpcm\)
