Question

Chứng minh rằng trong một tứ giác tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy

Answer 1

Gỉa sử tứ giác ABCD có: AB= a, BC= b, CD= c, DA= d.

Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có:

AC+BD=OA+OB+OC+OD>AB+CD= a+c

Tương tự: AC+BD> b + d

=> 2(AC+BD) > a+b+c+d => AC+BD = a+b+c+d2

Vậy tổng 2 đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

AC < a+b; AC < c+d

BD< b+c; BD < a+d

=> 2(AC+BD) < 2(a+b+c+d)

=>AC+BD < a+b+c+d

Vậy tổng hai đường chép nhỏ hơn chu vi tứ giác