Question

Chứng minh rằng : tồn tại n thuộc N sao cho \(17^n\) - 1 chia hết cho 25

Giải chi tiết giúp mk nha các bn, mk cảm ơn nhìu ạ!!

Answer 1

Ta áp dụng công thức: Nếu đem nhốt n+1 con thỏ vào n loongfthif sẽ có ít nhất 1 cái lồng nhốt từ 2 con thỏ trở lên

Áp dụng công thức trên để chứng minh \(n\in N\) cho 17ⁿ -1 \(⋮\) 25

Xét 26 con thỏ là 26 số: 17^k;17^k+1; ...;17^k+25

Đem 26 số trên chia cho 25 ta sẽ có 26 số dư từ: 0;1;2;.....;24 (có 25 giá trị)

Nên sẽ có 2 số dư bằng nhau và trong 26 số trên có 2 số đồng dư với nhau khi chia cho 25

\(\Rightarrow\) Hiệu của 2 số đó chia hết cho 25

Hiệu 2 số có dang: 17^x - 17^y chia hết cho 25 ( x > y )

17^y.(17^x-y-1) chia hết cho 25

Mà 17^y không chia hết cho 25 nên 17^x-y chia hết cho 25

Đặt n=x-y nên \(17^n-1⋮25\) (đpcm)