Xét tứ giác ABDC (AB // CD, AB < CD). Gọi M là giao điểm của AC và BD, N là giao điểm của AD và BC; H, K lần lượt là giao điểm của MN với AB, CD. Ta sẽ chứng minh H, K theo thứ tự là trung điểm của AB, CD.
Áp dụng định lý Thales cho các tam giác MCK, MDK, NCK, NDK với AB // CD ta có:
\(\frac{AH}{CK}=\frac{MH}{MK};\frac{BH}{DK}=\frac{MH}{MK};\)
\(\frac{BH}{CK}=\frac{NH}{NK};\frac{AH}{DK}=\frac{NH}{NK}.\)
Do đó: \(\frac{AH}{CK}=\frac{BH}{DK};\frac{BH}{CK}=\frac{AH}{DK}\)
\(\Rightarrow\frac{AH}{CK}.\frac{AH}{DK}=\frac{BH}{DK}.\frac{BH}{CK}\)
\(\Rightarrow AH^2=BH^2\)
\(\Rightarrow AH=BH\) (Do AH, BH > 0)
\(\Rightarrow CK=DK.\)
Từ đó suy ra H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD (đpcm)
