Ta có hình vẽ sau:
Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và dài bằng nửa cạnh ấy.[2]
Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AB và N là trung điểm cạnh AC ({\displaystyle MA=MB} và {\displaystyle NA=NC}). Chứng minh {\displaystyle {\overline {MN}}\parallel {\overline {BC}}} và {\displaystyle MN={\frac {1}{2}}BC}.
và {\displaystyle NA=NC}
). Chứng minh {\displaystyle {\overline {MN}}\parallel {\overline {BC}}}
và {\displaystyle MN={\frac {1}{2}}BC}
.Chứng minh định lý:
Kéo dài đoạn MN về phía N một đoạn NF có độ dài bằng MN. Nhận thấy: {\displaystyle \triangle ANM=\triangle CNF} (trường hợp cạnh - góc - cạnh)
(trường hợp cạnh - góc - cạnh)suy ra {\displaystyle {\widehat {\rm {MAN}}}={\widehat {\rm {NCF}}}}. Hai góc này ở vị trí so le trong lại bằng nhau nên {\displaystyle {\overline {CF}}\parallel {\overline {MA}}} hay {\displaystyle {\overline {CF}}\parallel {\overline {BA}}}. Mặt khác vì hai tam giác này bằng nhau nên {\displaystyle CF=MA}, suy ra {\displaystyle CF=MB} (vì {\displaystyle MA=MB}). Tứ giác BMFC có hai cạnh đối BM và FC vừa song song, vừa bằng nhau nên BMFC là hình bình hành, suy ra {\displaystyle {\overline {MF}}\parallel {\overline {BC}}} hay {\displaystyle {\overline {MN}}\parallel {\overline {BC}}}. Mặt khác, {\displaystyle MN=NF={\frac {1}{2}}MF}, mà {\displaystyle MF=BC} (tính chất hình bình hành), nên {\displaystyle MN={\frac {1}{2}}BC}. Định lý được chứng minh.
. Hai góc này ở vị trí so le trong lại bằng nhau nên {\displaystyle {\overline {CF}}\parallel {\overline {MA}}}
hay {\displaystyle {\overline {CF}}\parallel {\overline {BA}}}
. Mặt khác vì hai tam giác này bằng nhau nên {\displaystyle CF=MA}
, suy ra {\displaystyle CF=MB}
(vì {\displaystyle MA=MB}
hay {\displaystyle {\overline {MN}}\parallel {\overline {BC}}}
, mà {\displaystyle MF=BC}
(tính chất hình bình hành), nên {\displaystyle MN={\frac {1}{2}}BC}
