Question

CHỨNG MINH RẰNG các cặp số sau nguyên tố cùng nhau :

n^4+3n^2 +1 và n^3 + 2n

Answer 1

Gọi \(d=ƯCLN\left(n^4+3n^2+1;n^3+2n\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^4+3n^2+1⋮d\\n^3+2n⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^4+3n^2+1⋮d\\n^4+2n^2⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow n^2+1⋮d\)

Mà \(n^3+2n⋮d\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3+n⋮d\\n^3+2n⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow n⋮d\)

Mà \(n^2+1⋮d\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)

\(\Leftrightarrow d=1\)

\(\LeftrightarrowƯCLN\left(n^4+3n^2+1;n^3+2n\right)=1\)

\(\Leftrightarrow n^4+3n^2+1;n^3+2n\) nguyên tố cùng nhau