Question

chứng minh rằng 7n+3 và 5n+2 nguyên tố cùng nhau với n thuộc N

Answer 1

Giả sử d là UCLN của 7n + 3 và 5n + 2 (d thuộc N)

=> 7n + 3 chia hết cho d => 5(7n + 3) chia hết cho d => 35n + 15 chia hết cho d

5n + 2 chia hết cho d => 7(5n + 2) chia hết cho d => 35n + 14 chia hết cho d

=> (3n + 15) - (3n + 14) chia hết cho d

=> 3n + 15 - 3n - 14 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

\(\Rightarrow\)\(d\inƯ\left(1\right)=\left\{-1;1\right\}\)

mà d thuộc N

=> d = 1

=> 7n + 3 và 5n + 2 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Answer 2

Gọi d là UCLN của \(7n+3\) và \(5n+2\)

Ta có: \(7n+3-5n+2\) ⋮ d

⇒ \(5\left(7n+3\right)-7\left(5n+2\right)\) ⋮ d

\(=35n+15-35n+14\) ⋮ d

\(=1\) ⋮ d

⇒ d ∈ Ư (1) = \(\left\{1;-1\right\}\)

Mà d ∈ N

⇒ d \(=1\)

⇒ \(7n+3\) và \(5n+2\) là 2 số nguyên tố cùng nhau