Question

cho x,y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(^{x^2}\)+\(^{y^2}\)=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thúc P=(3-x)(3-y)

Answer 1

\(P=xy-3\left(x+y\right)+9\)

Đặt \(x+y=a\Rightarrow1< a\le\sqrt{2}\)

\(a^2=x^2+y^2+2xy=1+2xy\Rightarrow xy=\frac{a^2-1}{2}\)

\(P=\frac{a^2-1}{2}-3a+9\Rightarrow2P=a^2-6a+17\)

\(2P=a^2-6a-2+6\sqrt{2}+19-6\sqrt{2}\)

\(2P=\left(a+\sqrt{2}\right)\left(a-\sqrt{2}\right)-6\left(a-\sqrt{2}\right)+19-6\sqrt{2}\)

\(2P=\left(\sqrt{2}-a\right)\left(6-\sqrt{2}-a\right)+19-6\sqrt{2}\ge19-6\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{19-6\sqrt{2}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=\sqrt{2}\) hay \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)