Đại số lớp 6

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Đào Xuân Sơn

cho x, y, z thuộc Z thoả mản x^2+y^2=z^2 CM

a) xy chia het cho 12

b) xyz chia het cho 60

Nguyễn Lê Phước Thịnh
13 tháng 2 2022 lúc 14:06

 

a: Giả sử như x,y không chia hết cho 3 thì x2,y2 chia 3 dư 1

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=z^2\) chia 3 dư 2(vô lý vì z2 là số chính phương)

\(\Leftrightarrow xy⋮3\)(1)

Giả sử như x,y không chia hết cho 4 thì x2,y2 chia 4 dư 1

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=z^2\) chia 4 dư 2(vô lý vì z2 là số chính phương)

\(\Leftrightarrow xy⋮4\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(xy⋮12\)

b:Tham khảo:

60 = 3.4.5
Ta cần c/m xyz chia hết cho 3; 4 và 5.
Xét x² + y² = z²

* Giả sử cả x; y và z đều không chia hết cho 3.
Khi đó x; y và z chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2 => x²; y² và z² chia cho 3 dư 1.
=> x² + y² ≡ 1 + 1 = 2 ( mod 3 )
Vô lí vì z² ≡ 1 ( mod 3 )
Vậy tồn tại ít nhất 1 số ⋮ 3, do đó xyz ⋮ 3 (♠)

* Giả sử cả x; y và z không chia hết cho 4.
Khi đó x; y và z chia cho 4 dư 1; 2 hoặc 3.
*TH 1 : Cả x; y và z lẻ => x²; y² và z² chia 4 dư 1.
=> z² = x² + y² ≡ 1 + 1 = 2 ( mod 4 ) { loại }
*TH 2 : Có ít nhất 2 số chẵn => xyz⋮ 4
*TH 3 : Có 1 số chẵn và 2 số lẻ.
......+ Với x; y lẻ thì z² = x² + y² ≡ 1 + 1 = 2 ( mod 4 ) { loại do z chẵn nên z² ≡ 0 ( mod 4 )}
......+ Với x; z lẻ thì y² = z² - x² ≡ (z - x)(z + x). Ta có bảng sau :

........z...............x...........z-...
....4m+1.......4n+1.........4(m-n).......
....4m+3.......4n+1.......4(m-n)+2.......
Các trường hợp khác tương tự. Ta luôn có y² = (z-x)(z+x)⋮8. Trong khi y²⋮4 nhưng không⋮8 => mâu thuẫn.

Vậy tồn tại ít nhất 1 số⋮4 => xyz⋮4 (♣)

* Giả sử cả x; y và z không chia hết cho 5.
Khi đó x; y và z chia cho 5 dư 1; 2; 3 hoặc 4 => x²; y² và z² chia cho 5 dư 1 hoặc -1.
+ TH 1 : x² ≡ 1 ( mod 5 ); y² ≡ 1 ( mod 5 ) => z² = x² + y² ≡ 2 ( mod 5 ) { loại }
+ TH 2 : x² ≡ -1 ( mod 5 ); y² ≡ -1 ( mod 5 ) => z² = x² + y² ≡ -1 ( mod 5 ) { loại }
+ TH 3 : x² ≡ 1 ( mod 5 ); y² ≡ -1 ( mod 5 ) => z² = x² + y² ≡ 0 ( mod 5 ) { loại }

Vậy tồn tại ít nhất 1 số⋮5 => xyz⋮5 (♦)
Từ (♠); (♣) và (♦) => xyz⋮3.4.5 = 60 ( đpcm )


Các câu hỏi tương tự
Đào Xuân Sơn
Xem chi tiết
Nguyễn Hà Bảo Trâm
Xem chi tiết
Erika Alexandra
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Huyền
Xem chi tiết
Linh Luna
Xem chi tiết
Phạm Thị Hiền Mai
Xem chi tiết
Skegur
Xem chi tiết
Ngô Luyện
Xem chi tiết
Nguyễn Mai Phương
Xem chi tiết