Question

Cho x, y, z > 0 và x+y+z=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\)

Answer 1

Toán lớp 6? -_-

\(P=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\)

*Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\ge\dfrac{9}{xy+yz+zx}\)

\(P\ge\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{9}{xy+yz+xz}=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\dfrac{7}{xy+yz+zx}\)

*Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\(\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}\)

và \(\dfrac{7}{xy+yz+xz}\ge\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)}=21\)

\(\Rightarrow P\ge9+21=30\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)