Question

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA và I, K là trung điểm các đường chéo AB, BD. Chứng minh:
a, Các tứ giác MNPQ, INKQ là hình bình hành.
b, Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng quy

Answer 1

a: Xét ΔABD có

M.Q lần lượt là trung điểm của AB và AD
nên MQ là đường trung bình

=>MQ//BD và MQ=1/2BD(1)

Xét ΔBCD có

P,N lần lượt là trung điểm của CD và CB

nên PN là đường trung bình

=>PN//BD và PN=BD/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra MQ//PN và MQ=PN

=>MNPQ là hình bình hành

Xét ΔCAB có N,I lần lượt là trung điểm của CB và CA

nên NI là đường trung bình

=>NI//AB và NI=AB/2(3)

Xét ΔDAB có Q,K lần lượt là trung điểm của DA và DB

nên QK là đường trung bình

=>QK//AB và QK=1/2AB(4)

Từ (3) và (4) suy ra NI//QK và NI=QK

=>INKQ là hình bình hành

b: Ta có: MNPQ là hình bình hành

nên MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường(1)

Ta có: INKQ là hình bình hành

nên IK cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1) và (2) suy ra MP,NQ,IK đồng quy