Kẻ BE là phân giác của góc B, kẻ EK vuông góc BD(K thuộc BD)
Tam giác ABC có : \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180\)
90+54+\(\widehat{C}\)=180
\(\Rightarrow\widehat{C}=180-90-54=36\)
Ta có: \(\widehat{ABD}+\widehat{EBC}=\widehat{ABC}\)
\(\widehat{ABD}+18=54\)
\(\Rightarrow\widehat{ABD}=54-18=36\)
Vì BE là phân giác của góc ABD nên \(\widehat{ABE}=\widehat{ABD}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABD}=\dfrac{1}{2}.36=18\)
Xét tam giác ABE và tam giác KBE có:
\(\widehat{A}=\widehat{BKE}=90\)
BE chung
\(\widehat{ABE}=\widehat{EBK}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\Delta ABE=\Delta KBE\)(cạnh huyền-góc ngọn)
=>AE=EK(2 cạnh tương ứng)
Xét tam giác EBK, áp dụng định lí py-ta-go ta có: BE>BK
Ta có: \(\widehat{EBC}=\widehat{EBD}+\widehat{DBE}=18+18=36\)
Xét tam giác EBC có: \(\widehat{EBC}=\widehat{BCE}=36\)=> tam giác EBC cân tại E => BE=EC
Ta có: BE>BK; BE=EC=> EC>BK
Xét tam giác BDC có: \(\widehat{DBC}+\widehat{BDC}+\widehat{BCD}=180\)
\(18+\widehat{BDC}+36=180\)
\(\Rightarrow\widehat{BDC}=180-18-36=126\)
Ta có: \(\widehat{BDE}+\widehat{BDC}=180\)(2 góc kề bù)
=>\(\widehat{BDE}=180-126=54\)
Xét tam giác EKD có: \(\widehat{KED}+\widehat{KDE}+\widehat{EKD}=180\)
\(\widehat{KED}+54+90=180\)
\(\widehat{KED}=180-90-54=36\)
Xét tam giác ABC ta lại có: \(\widehat{KAD}< \widehat{KDE}\)(36<54)
=> KD<EK( cạnh đối diện với góc bé hơn thì bé hơn)
mà EK=AE(cmt)
=>AE>KD
Ta có : BK<EC; KD<AE
=>BK+KD<AE+EC
(hay) BD<AC (ĐPCM)
