Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AD=BE=CF\\AB=AC=BC\end{matrix}\right.\)
Mà : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AD+BD\left(D\in AB\right)\\AC=AF+FC\left(F\in AC\right)\\BC=BE+EC\left(E\in BC\right)\end{matrix}\right.\)
Suy ra : \(AF=BD=CE\)
Xét \(\Delta ADF;\Delta BDE\) có :
\(AD=BE\left(gt\right)\)
\(\widehat{DAF}=\widehat{EBD}\) (tam giác ABC là tam giác đều)
\(AF=BD\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta ADF=\Delta BDE\left(c.g.c\right)\)
=> \(DF=DE\) (2 cạnh tương ứng) (1)
Xét \(\Delta BDE;\Delta FEC\) có :
\(BE=CF\left(gt\right)\)
\(\widehat{DBE}=\widehat{ECF}\) (tam giác ABC là tam giác đều)
\(BD=EC\) (cmt)
=> \(\Delta BDE=\Delta FEC\left(c.g.c\right)\)
=> \(DE=EF\) ( 2cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) => \(DF=DE=EF\)
Xét \(\Delta DEF\) CÓ:
\(DF=DE=EF\) (cmt)
=> \(\Delta DEF\) là tam giác đều (đpcm)