Question

Cho tam giác đều ABC có AH vuông góc với BC tại H

a) Chứng minh ∆AHB =∆AHC và tính góc HAB

b) Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC tại D. Trên cạnh AD lấy S sao cho AS=AH. Chứng minh ∆AHC =∆ASC ;

c) Chứng minh S là trung điểm của AD

Answer 1

a) Chú ý: ΔABC đều <=> BAC = ABC = ACB = 60^o

Xét ΔAHB và ΔAHC có:

AHB = AHC (= 90^o)

AH: chung

AB = AC (ΔABC đều)

=> ΔAHB = ΔAHC (ch-cgv)

=> HAB = HAC (2 góc tương ứng)

=> HAB = HAC = 60^o : 2 = 30^o

b) Ta có: BAC + CAS = 90^o

=> CAS = 90^o - 60^o = 30^o

Xét ΔAHC và ΔASC có:

AH = AS (gt)

CAH = CAS (= 30^o)

CA: chung

=>ΔAHC = ΔASC (c.g.c) (đpcm)

Khi đó, ACS = 90^o và ACS = 60^o

c) Lại có: ACH + ACS + SCD = 180^o

=> SCD = 60^o

Xét ΔASC và ΔDSC có:

ASC = DSC (= 90^o)

CS: chung

SCA = SCD (= 60^o)

=> ΔASC = ΔDSC (cgv-gn)

=> SA = SD (2 cạnh tương ứng)

=> S là trung điểm AD

Answer 2

a) Xét △AHB và △AHC có:

AB = AC ( △ABC đều)

góc AHB = góc AHC = 90o

AH cạnh chung

Do đó △AHB = △AHC ( ch-cgv)

Suy ra: góc BAH=góc CAH(2 góc tương ứng)

Xét △AHB có:

góc HAB + góc AHB + góc ABH = 180o (theo tính chất tổng 3 góc của tam giác)

hay góc HAB + 90o + 60o = 180o (△ABC đều)

⇒ góc HAB = 180o - 90o - 60o

⇒ góc HAB = 30o

mà góc HAB=góc HAC (cmt)

⇒góc HAC=góc HAC=30o

Do AB⊥AD (gt)

⇒ góc BAD = 90o

mà góc HAB=góc HAC=30o

⇒ góc CAD= 90o -30o-30o

⇒ góc CAD = 30o

⇒ góc CAD = góc HAB = góc HAC

Xét △AHC và △ASC có:

AS = AH (gt)

góc HAC = góc SAC (cmt)

AC cạnh chung

Do đó △AHC = △ASC ( c-g-c)

Suy ra: góc ACH = góc ACS ( 2 góc t/ứ)

⇒ góc ACH = góc ACS = 60o

⇒ góc HCS = góc ACH + góc ACS

⇒ góc HCS = 60o + 60o = 120o

mà góc HCS kề bù với góc DCS

⇒ góc DCS = 180o - góc HCS

⇒ góc DCS = 180o - 120o

⇒ góc DCS = 60o

Xét △ACS có:

góc CAS + góc ACS + góc ASC = 180o (theo tính chất tổng 3 góc của tam giác)

hay 30o + 60o + góc ASC = 180o

⇒ góc ASC = 180o - 60o - 30o

⇒ góc ASC = 90o

⇒ CS⊥AD

Xét △ACS và △DCS có:

góc ACS = góc DSC = 60o

CS cạnh chung

góc ASC = góc CSD = 90o ( CS⊥AD)

Do đó △ACS = △DCS ( g-c-g)

Suy ra AS = DS (2 cạnh t/ứ)

⇒ S là trung điểm của AD