Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên tia đối của các tia BA và CA lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE.
a) Chứng minh: DE // BC.
b) Từ D kẻ DM vuông góc với BC, từ E kẻ EN vuông góc với BC (M, N BC).
Chứng minh: DM = EN.
c) Chứng minh: \(\Delta AMN\) cân.
d) Từ B và C kẻ các đường vuông góc với AM và AN chúng cắt nhau tại I.
Chứng minh: AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAN.
ta có hình vẽ sau:
a) xét \(\Delta HCK\) và \(\Delta HCB\) có:
\(\widehat{HCK}=\widehat{CHB}\) (so le trong)
\(HC\) cạnh chung
\(\widehat{HCB}=\widehat{CHK}\) (so le trong)
\(\Rightarrow\Delta HCK=\Delta HCB\left(g.c.g\right)\)
mà \(H,K\in DE\Rightarrow DE\) //\(BC\)
b)
xét \(\Delta MDB\) và \(\Delta NEC\) có:
\(DB=EC\left(gt\right)\)
\(\widehat{M}=\widehat{N}=90^o\left(gt\right)\)
vì \(\Delta ABC\) là tam giác cân nên theo tính chất ta có:
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) mà \(\widehat{ABC}=\widehat{B}\) (đối đỉnh) và \(\widehat{ACB}=\widehat{C}\)
Do đó \(\widehat{B}=\widehat{C}\)
\(\Rightarrow\Delta MDB=\Delta NEC\left(g.c.g\right)\)
\(\Rightarrow DM=EN;MB=NC\) (2 cặp cạnh t.ứng)
c) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)
\(\Rightarrow AB=AC\) (theo định nghĩa) và \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (theo tính chất)
mà \(\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180^o\) (2 góc kề bù)
và \(\widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180^o\) (2 góc kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACN\) có:
\(AB=AC\left(gt\right)\)
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\left(cmt\right)\)
\(MB=NC\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACN\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow AM=AN\Rightarrow\Delta AMN\) cân tại \(A\)
