Bài toán khá đơn giản, hầu như là biến đổi thuần túy:
Dựa vào các công thức tính diện tích tam giác:
\(S=\frac{abc}{4R}=\frac{\left(a+b+c\right)r}{2}=\frac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2r=\frac{4S}{a+b+c}\\R=\frac{abc}{4S}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{2r}{R}=\frac{16S^2}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}{abc}\)
Do đó điều kiện bài toán trở thành:
\(\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\frac{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}{abc}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b-2abc}{abc}=4\)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b=6abc\)
Mà theo AM-GM:
\(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b\ge6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}=6abc\)
Dấu "=" xảy ra nên \(a=b=c\) hay tam giác đều
