Question

Cho tam giác ABCD. Gọi N, O, P, Q tương ướng là trung điểm AB, BC, CD, DA:
a)Chứng minh rằng NOPQ là hình bình hành.

b)Nếu có thêm AC vuông góc với BD, chứng minhNOPQ là hình chữ nhật.

Answer 1

a)Có N, Q là trung điểm của AB và AD nên NQ là đường trung bình của tam giác ABD suy ra \(NQ=\dfrac{1}{2}BD\) và NQ // BD. (1)
Tương tự \(OP=\dfrac{1}{2}BD\) và OP // BD. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác NQPO là hình bình hành.
b) Nếu \(AC\perp BD\) và giả sử AC cắt BD tại E.
Có EF // KO và KE // OF nên tứ giác KOFE là hình bình hành.
Khi đó do tứ giác KOFE là hình bình hành và \(\widehat{KEF}=90^o\).
Nên tứ giác KOFE là hình chữ nhật, từ đó suy ra \(\widehat{KOF}=90^o\).
Hình bình hành NOPQ có \(\widehat{NOP}=90^o\) nên là hình chữ nhật.