a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADC\) ta có:
CA chung
\(\widehat{DAC}=\widehat{BAC}=90^o\)
\(AD=AB\)
Do đó \(\Delta ABC\) =\(\Delta ADC\)(c-g-c)
Vậy CB=CD(hai cạnh tương ứng)
b)Xét \(\Delta DME\) và \(\Delta CMB \) ta có:
DM=CM(M là trung điểm của CD)
\(\widehat{DME}=\widehat{CMB}\)(đối đỉnh)
\(\widehat{CDE}=\widehat{BCD}\)(DE//BC mà hai góc này ở vị trí sole trong)
Do đó \(\Delta DME\)=\(\Delta CMB \)(g-c-g)
Vậy CB=DE(hai cạnh tương ứng)
BM=EM(hai cạnh tương ứng)
Mà CB=CD nên CD=DE
Vì \(\Delta DCE \) có CD=DE nên \(\Delta DCE \) cân
c)
Vì BM đi qua trung điểm của CD,CA đi qua trung điểm của BD nên BM và CA là đường trung tuyến của \(\Delta BDC\) mà BM và CA cùng đi qua I
=> I là trong tâm của \(\Delta BDC\)
=>\(IB=\dfrac{2}3 BM\);\(IM=\dfrac 1{3} BM \Rightarrow BM=3IM\)
Xét \(\Delta BMD\) và \(\Delta EMC\) ta có:
BM=ME;\(\widehat{CME}=\widehat{DMB}\)(đối đỉnh);\(\widehat{CEM}=\widehat{DBM}\)(DE//BC mà hai góc này ở vị trí sole trong)
Do đó \(\Delta BMD\)=\(\widehat{CME}=\widehat{DMB}\)(g-c-g)
Vậy CE=BD(hai cạnh tương ứng)
Ta có:BC+CE>BE(áp dung bất đẳng thức tam giác)
Mà BM=EM
BM=3IM
=>BM+EM=6IM
Mà BM+EM=BE
=>BC+CE>6IM
Mà CE=BD nên BC+BD>6IM
