Cho tam giác ABC vuông tại A.Gọi D là trung điểm BC. Kẻ DE vuông góc với AC tại E, DF vuông góc với AB tại F
a) Chứng minh AD = EF
b) Lấy G đối xứng với D qua F . Chứng minh tứ giác ADBG là hình thoi
c)Gọi K là giao điểm của AG và ED. Chứng minh AD, BK, CG đồng quy
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để hình thoi ADBG là hình vuông
a) Xét tứ giác AEDF có
\(\widehat{EAF}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), E∈AC, F∈AB)
\(\widehat{DFA}=90^0\)(DF⊥AB)
\(\widehat{DEA}=90^0\)(DE⊥AC)
Do đó: AEDF là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
⇒AD=EF(hai đường chéo trong hình chữ nhật AEDF)
b) Ta có: AE//DF(hai cạnh đối trong hình chữ nhật AEDF)
mà C∈AE
nên AC//DF
Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC(gt)
DF//AC(cmt)
Do đó: F là trung điểm của AB(định lí 1 đường trung bình của tam giác)
Xét tứ giác ADBG có
F là trung điểm của đường chéo AB(cmt)
F là trung điểm của đường chéo DG(D và G đối xứng nhau qua F)
Do đó: ADBG là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành ADBG có DG⊥AB(DF⊥AB, G∈DF)
nên ADBG là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)
c) Ta có: ED//AF(hai cạnh đối trong hình chữ nhật AEDF)
mà B∈AF
nên ED//AB
Xét ΔABC có
D là trung điểm của BC(gt)
DE//AB(cmt)
Do đó: E là trung điểm của AC(định lí 1 đường trung bình của tam giác)
⇒AC=2AE
mà DF=AE(hai cạnh đối trong hình chữ nhật AEDF)
và DG=2DF(F là trung điểm của DG)
nên DG=AC
Xét tứ giác ACDG có DG//AC(DF//AC, G∈DF) và DG=AC(cmt)
nên ACDG là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒Hai đường chéo AD và CG cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(định lí hình bình hành)(1)
Ta có: DE//AF(hai cạnh đối trong hình chữ nhật AEDF)
mà K∈ED
và B∈AF
nên KD//AB
Ta có: AG//DB(hai cạnh đối trong hình thoi ADBG)
mà K∈AG
nên AK//DB
Xét tứ giác ABDK có AK//DB(cmt) và KD//AB(cmt)
nên ABDK là hình bình hành(định nghĩa hình bình hành)
⇒Hai đường chéo AD và BK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(định lí hình bình hành)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AD,BK,CG đồng quy(đpcm)
d) Để hình thoi ADBG là hình vuông thì \(\widehat{ADB}=90^0\)
hay AD⊥BC
Xét ΔABC có
AD là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(D là trung điểm của BC)
AD là đường cao ứng với cạnh BC(cmt)
Do đó: ΔABC cân tại A(định lí tam giác cân)
⇒AB=AC
Vậy: Khi ΔABC có thêm điều kiện AB=AC thì hình thoi ADBG là hình vuông
