Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông BC tại H. Kẻ tia phân giác AD của góc BAH (D∈BC)
a) Chứng minh BAH = C , CAH = B
b) Chứng minh ΔACD cân
c) Kẻ DK vuông BC, cắt AB tại K. Chứng minh ΔKAD cân
d) CK là tia phân giác của C và CK là đường trung trực AB
e) Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho AI = AH. Chứng minh DI // AC
a) Xét ΔABC vuông tại A có
\(\widehat{C}+\widehat{ABC}=90^0\)(hai góc phụ nhau)(1)
Xét ΔBAH vuông tại H có
\(\widehat{HAB}+\widehat{B}=90^0\)(hai góc phụ nhau)(2)
Từ (1) và (2) suy ra
\(\widehat{C}+\widehat{ABC}=\widehat{HAB}+\widehat{B}\)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{B}\)
nên \(\widehat{C}=\widehat{BAH}\)(đpcm)
Xét ΔCAH vuông tại H có
\(\widehat{CAH}+\widehat{C}=90^0\)(hai góc phụ nhau)(3)
Từ (1) và (3) suy ra \(\widehat{C}+\widehat{B}=\widehat{CAH}+\widehat{C}\)
hay \(\widehat{B}=\widehat{CAH}\)(đpcm)
b) Xét ΔAHD vuông tại H có
\(\widehat{HDA}+\widehat{HAD}=90^0\)(hai góc phụ nhau)(4)
Ta có: \(\widehat{CAD}+\widehat{BAD}=90^0\)(5)
Từ (4) và (5) suy ra \(\widehat{HDA}+\widehat{HAD}=\widehat{CAD}+\widehat{BAD}\)
mà \(\widehat{HAD}=\widehat{BAD}\)(do tia AD là tia phân giác của \(\widehat{HAB}\))
nên \(\widehat{HDA}=\widehat{CAD}\)
mà C∈HD
nên \(\widehat{CDA}=\widehat{CAD}\)
Xét ΔACD có \(\widehat{CDA}=\widehat{CAD}\)(cmt)
nên ΔACD cân tại C(định lí đảo tam giác cân)
c) Ta có: AH⊥BC(gt)
DK⊥BC(gt)
Do đó: AH//DK(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
⇒\(\widehat{HAD}=\widehat{ADK}\)(hai góc so le trong)
mà \(\widehat{HAD}=\widehat{KAD}\)(do tia AD là tia phân giác của \(\widehat{HAK}\))
nên \(\widehat{ADK}=\widehat{KAD}\)
Xét ΔKAD có \(\widehat{ADK}=\widehat{KAD}\)(cmt)
nên ΔKAD cân tại K(định lí đảo tam giác cân)
d) Xét ΔCKA và ΔCDK có
CA=CD(ΔACD cân tại C)
CK là cạnh chung
KA=KD(ΔKAD cân tại K)
Do đó: ΔCKA=ΔCDK(c-c-c)
⇒\(\widehat{ACK}=\widehat{DCK}\)(hai góc tương ứng)
mà tia CK nằm giữa hai tia CA,CD
nên CK là tia phân giác của \(\widehat{ACD}\)
hay CK là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\)(do B∈DC)(đpcm)
*Sửa đề: CK là đường trung trực của AD
Ta có: CA=CD(ΔACD cân tại C)
nên C nằm trên đường trực của AD(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)(6)
Ta có: KA=KD(ΔKAD cân tại K)
nên K nằm trên đường đường trực của AD(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)(7)
Từ (6) và (7) suy ra CK là đường trung trực của AD(đpcm)
e)Xét ΔAHD và ΔADI có
AH=AI(gt)
\(\widehat{HAD}=\widehat{IAD}\)(do tia AD là tia phân giác của \(\widehat{HAB}\),I∈AB)
AD chung
Do đó: ΔAHD=ΔADI(c-g-c)
⇒\(\widehat{AHD}=\widehat{AID}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{AHD}=90^0\)(AH⊥BC,D∈BC)
nên \(\widehat{AID}=90^0\)
⇒DI⊥AB
Ta có: AC⊥AB(ΔABC vuông tại A)
DI⊥AB(cmt)
Do đó: AC//DI(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
