Question

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và AB. Gọi E là điểm đối xứng với M qua N.

a) Chứng minh tứ giác AEBM là hình thoi.

b) Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AEBM là hình gì? Vì sao?

c) Gọi H, K lần lượt là giao điểm của CE với AM, AB. Chứng minh AB=3AK

Answer 1

a) Có \(AB\perp EM\) tại N và N là trung điểm của AB và EM nên tứ giác AEBM là hình thoi.
b) Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì AB = AC. (1)
Theo định nghĩa đường trung bình của tam giác suy ra \(NM=\dfrac{1}{2}AC\).
Tứ giác AEBM là hình thoi nên N là trung điểm của ME hay EM = 2NM = AC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra EM = AB.
Tứ giác AEBM có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình vuông.
c) Có \(AE=BM=MC\) và AE // MC nên tứ giác EMCA là hình bình hành.
Suy ra H là trung điểm của AM hay EH là đường trung tuyến EMA.
Mặt khác N là trung điểm của EM hay AN là đường trung tuyến của tam giác EMA.
Có K là giao điểm của EH và AN nên K là trọng tâm tam giác EMA.
Suy ra \(AK=\dfrac{2}{3}AN=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{3}AB\). ( Do N là trung điểm của AB) .
Từ đó suy ra \(AB=3AK\).