Hình vẽ:
Giải:
a) Xét tam giác BID và tam giác CIA, có:
\(BI=IC\left(gt\right)\)
\(ID=IA\left(gt\right)\)
\(\widehat{BID}=\widehat{CIA}\) (Hai góc đối đỉnh)
\(\Leftrightarrow\Delta BID=\Delta CIA\left(c.g.c\right)\)
b) Ta có: \(\Delta BID=\Delta CIA\) (Câu a)
\(\Leftrightarrow\widehat{IBD}=\widehat{ICA}\) (Hai góc tương ứng)
\(\Leftrightarrow BD//AC\) (Vì có hai góc so le trong bằng nhau)
Lại có: \(BD//AC\) (Chứng minh trên)
Mà \(AC\perp AB\) (Tam giác ABC vuông tại A)
\(\Leftrightarrow BD\perp AB\)
c) Ta có \(BD\perp AB\) (Chứng minh trên)
\(\Leftrightarrow\widehat{ABD}=90^0\)
\(\Leftrightarrow\widehat{ABM}=90^0\left(=180^0-\widehat{ABD}\right)\)
Lại có: \(AM//BC\left(gt\right)\)
\(\Leftrightarrow\widehat{ABC}=\widehat{BAM}\) (Hai góc so le trong)
Xét tam giác BAC và tam giác ABM, ta có:
\(\widehat{BAC}=\widehat{ABM}\left(=90^0\right)\)
AB là cạnh chung
\(\widehat{ABC}=\widehat{BAM}\) (Chứng minh trên)
\(\Leftrightarrow\Delta BAC=\Delta ABM\) (Cạnh góc vuông_Góc nhọn kề)
\(\Leftrightarrow MB=AC\) (Hai cạnh tương ứng) (1)
Mặt khác: \(BD=AC\left(\Delta BID=\Delta CIA\right)\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow MB=BD\)
\(\Rightarrow\) B là trung điểm của MD.
Chúc bạn học tốt!
