Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của DE, DC, BC, BE.

Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q thuộc cùng một đường tròn ?

Answer 1

Tham khảo:

Xét tam giác DEC có  

M là trung điểm DE

N là trung điểm DC

MN là đường trung bình của tam giác DEC, hay MN//EC (*) và MN=1/2 EC (1)

* Xét tam giác BEC có 

Q là trung điểm BE

P là trung điểm BC

PQ là đường trung bình của tam giác BEC, hay PQ//EC và PQ=1/2 EC (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.

* Xét tam giác DEB có 

Q là trung điểm BE

M là trung điểm DE

 QM là đường trung bình của tam giác BED, hay MQ//DB  (3).

Mà AB⊥AC (4)

Từ (1), (3) và (4) suy ra MN⊥MQ (5)

Tứ giác MNPQ là hình bình hành mà có một góc vuông  MNPQ là hình chữ nhật.

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo MP và QN

Suy ra IM=IN=IP=IQ (tính chất hình chữ nhật)

Nên các điểm M, N, P, Q đều cách đều I một khoảng cố định

M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.