a)Giải \(\Delta ABC\)
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A
Ta có:\(tanB=\dfrac{AC}{AB}\)
\(tan30^0=\dfrac{AC}{6}\)
\(AC=tan30^0.6\)
\(AC=2\sqrt{3}\) (cm)
Ta có:\(sinB=\dfrac{AC}{BC}\)
\(sin30^0=\dfrac{2\sqrt{3}}{BC}\)
\(BC=\dfrac{2\sqrt{3}}{sin30^0}\)
\(BC=4\sqrt{3}\)(cm)
Ta có:\(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)(tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
mà \(\widehat{B}=30^0\)
\(\Rightarrow\widehat{C}=60^0\)
Ta có:AM=MB=MC=\(\dfrac{BC}{2}\)(tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
\(\Rightarrow AM=MC=MB=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\Delta CMA\) cân tại M
Xét \(\Delta CMA\) cân tại M
Ta có:\(\widehat{C}=\widehat{CAM}=60^0\)
Ta có:\(\widehat{C}+\widehat{CAM}+\widehat{CMA}=180^0\)(tồng ba góc trong tam giác)
\(\Rightarrow\widehat{CMA}=180^0-\widehat{C}-\widehat{CAM}\)
\(\Rightarrow\widehat{CAM}=180^0-60^0-60^0\)
\(\Rightarrow\widehat{CAM}=60^0\)
Xét \(\Delta CAH\) vuông tại H
Ta có:sinC=\(\dfrac{AH}{AC}\)
\(\Rightarrow sin60^0=\dfrac{AH}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow AH=sin60^0.2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow AH=3\)(cm)
Ta có:\(\widehat{CMA}+\widehat{AMH}=180^0\)(hai góc kề bù)
mà \(\widehat{CMA}=120^0\)
\(\Rightarrow\widehat{AMH}=60^0\)
Ta có:\(\widehat{MAH}+\widehat{AMH}=90^0\)(tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)
mà \(\widehat{AMH}=60^0\)
\(\Rightarrow\widehat{MAH}=30^0\)
Ta có \(S_{AMH}=\dfrac{1}{2}.AM.AH.sinMAH\)
\(=\dfrac{1}{2}.2\sqrt{3}.3.sin30^0\)
\(=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
