Ta có hình vẽ:
a/ Xét hai tam giác vuông ABI và EBI có:
góc ABI = góc EBI (BI là pg góc ABC)
BI: cạnh chung
=> tam giác ABI = tam giác EBI
=> BA = BE
Mà góc ABC = 600
=> tam giác BAE đều.
b/ Ta có: tam giác ABC vuông tại A
=> góc B + góc C = 900
hay 600 + góc C = 900
=> góc C = 300
Ta lại có: BI là pg góc ABC
=> góc ABI = góc IBC = 600 / 2 = 300
=> góc IBC = góc ICB = 300
=> tam giác IBC cân tại I
Mà IE là đường cao của tam giác IBC
=> IE cũng là trung tuyến của tam giác IBC
=> EB = EC (đpcm)
c/ Trong tam giác ABI vuông tại A
=> góc A > góc I
=> IB > AB
Trong tam giác ICE vuông tại E :
=> góc E > góc I
=> IC > EC
Ta có: IB > AB; IC > EC
=> IB + IC > AB + EC (đpcm).
d/ Ta có: BM là đường cao của tam giác BKC
Ta có: CA là đường cao của tam giác BKC
Mà BM cắt CA tại I
=> I là trực tâm của tam giác BKC
KE là đường cao còn lại của tam giác BKC (KE vuông góc BC)
=> I thuộc KE
=> K; I; E thẳng hàng.