Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ACB = 30^o. Vẽ đường cao AH ( H thuộc BC ). Trên đoạn BC lấy điểm E sao cho HE = HB.

a/ Chứng minh: tam giác ABE là tam giác đều

b/ Gọi điểm D là hình chiếu của điểm C trên tia AE. Chứng minh tam giác HDE cân

c/ Chứng minh: BH < \(\dfrac{BD+DE}{2}\)

d/ Tia AH cắt tia CD tại K. Chứng minh KE vuông góc với AC

Answer 1

Xét 2 \(\Delta\)vuông:\(\Delta\) AHE và\(\Delta\) AHB, có:

HE=HB( gt)

AH: cạnh chung

=> \(\Delta\)AHE=\(\Delta\)AHB(c.g.c)

=>^ABH=^AEH( 2 góc tương ứng)

Xét \(\Delta\)ABC vuông tại A, có: ^ABC+^ACB=90⁰

=>^ABC+30⁰=90⁰

=>^ABC=90⁰-30⁰

=> ^ABC=60⁰ hay ^ABE=60⁰

=>^BEA=60⁰(do ^ABH=^AEH)

Xét \(\Delta\)ABE có:^ABE+^BEA+^BAE=180⁰

=> 60⁰+60⁰+^BAE=180⁰

=>^BAE=180⁰-120⁰

=>^BAE=60⁰

=>^BAE=^ABE=^BEA=60⁰

=> \(\Delta\)ABE là tam giác đều

Answer 2

Ta có:^BAE+^EAC=90⁰

=>60⁰+^EAC=90⁰

=>^EAC=30⁰

Vì \(\Delta\)AHE=\(\Delta\)AHB

=>^EAH=^BAH=^BAE:2=60⁰:2=30⁰

=>^EAH+^EAC=30⁰+30⁰

=>^HAC=60⁰ hay ^KAC=60⁰

Vì ^BEA=^DEC(2 góc đối đỉnh)

=>^DEC=60⁰

Xét \(\Delta\)DEC có: ^DEC+^EDC+^DCE=180⁰

=>60⁰+90⁰+^DCE=180⁰

=>^DCE=30⁰ hay ^KCH=30⁰

Lại có:^KCA=^KCH+^HCA

=>^KCA=30⁰+30⁰

=>^KCA=60⁰

Mà ^KAC=60⁰

=>\(\Delta\)KAC là tam giác đều

=>KA=KC

Xét 2 \(\Delta\)vuông:\(\Delta\)KDA và \(\Delta\)KHC, có:

KA=KC(cmt)

^AKC: góc chung

=>\(\Delta\)KDA=\(\Delta\)KHC(cạnh huyền-góc nhọn)

=>KD=KH(2 cạnh tương ứng)

Xét 2 \(\Delta\)vuông:\(\Delta\)KHE và \(\Delta\)KDE, CÓ:

KH=KD(cmt)

KE: cạnh chung

=>\(\Delta\)KHE=\(\Delta\)KDE(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

=>HE=DE( 2 cạnh tương ứng)

=>\(\Delta\)HED cân tại E

Vậy \(\Delta\)HED cân tại E

Answer 3

Ta có:^BAE+^EAC=900

=>600+^EAC=900

=>^EAC=300

Vì ΔΔAHE=ΔΔAHB

=>^EAH=^BAH=^BAE:2=600:2=300

=>^EAH+^EAC=300+300

=>^HAC=600 hay ^KAC=600

Vì ^BEA=^DEC(2 góc đối đỉnh)

=>^DEC=600

Xét ΔΔDEC có: ^DEC+^EDC+^DCE=1800

=>600+900+^DCE=1800

=>^DCE=300 hay ^KCH=300

Lại có:^KCA=^KCH+^HCA

=>^KCA=300+300

=>^KCA=600

Mà ^KAC=600

=>ΔΔKAC là tam giác đều

=>KA=KC

Xét 2 ΔΔvuông:ΔΔKDA và ΔΔKHC, có:

KA=KC(cmt)

^AKC: góc chung

=>ΔΔKDA=ΔΔKHC(cạnh huyền-góc nhọn)

=>KD=KH(2 cạnh tương ứng)

Xét 2 ΔΔvuông:ΔΔKHE và ΔΔKDE, CÓ:

KH=KD(cmt)

KE: cạnh chung

=>ΔΔKHE=ΔΔKDE(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

=>HE=DE( 2 cạnh tương ứng)

=>ΔΔHED cân tại E

Vậy ΔΔHED cân tại E