Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 60 độ, M là điểm tùy ý trên cạnh AC. Vẽ đường tròn tâm O đường kính MC cắt BC tại E. Đường thẳng BM cắt (O) tại N, AN cắt (O) tại D. Lấy I đối xứng với M qua A. Lấy K đối xứng với M qua E.
1) Chứng minh tứ giác BANC nội tiếp
2) Chứng minh CA là tia phân giác của góc BCD
3) Tìm vị trí của M trên AC để MBKC là hình thoi
4) Tìm vị trí của M để đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK có bán kính nhỏ nhất
1. Xét tứ giác $ABCN$ có: $\widehat{BAC}=\widehat{CNB}=90^o.$
$\Rightarrow ABCN$ nội tiếp.
2. $M,C,D,N \in (O).$
$\Rightarrow MCDN$ nội tiếp.
$\Rightarrow \widehat{DCM}+\widehat{DNM}=180^o.$
Mà $\widehat{DNM}+\widehat{BNA}=180^o$ (2 góc kề bù).
$\Rightarrow \widehat{DCM}=\widehat{BNA}.$
Mà $\widehat{ACB}=\widehat{BNA}$ ($ABCN$ nội tiếp).
$\Rightarrow \widehat{DCM}=\widehat{ACB}.$
$\Rightarrow CA$ là tia phân giác của $\widehat{BCD}$
3. Vì $MBKC$ là hình thoi nên $BE=CE;BM=CM \Rightarrow \widehat{MCB}=\widehat{MBC}.$
$\Rightarrow BM$ là phân giác $\widehat{ABC} \Rightarrow \dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow AM=\dfrac{1}{3}AC.$
4. Ta có $\Delta BMI$ cân tại $B \Rightarrow \widehat{BIC}=\widehat{BMI}.$
Ta có $\widehat{MEC}=90^o, ME=EK \Rightarrow BC$ là trung trực của $MK.$
$\Rightarrow \Delta BMC= \Delta BKC \Rightarrow \widehat{BMC}= \widehat{BKC} \Rightarrow \widehat{BIC}+\widehat{BKC}=180^o \Rightarrow IBKC$ nội tiếp.
$\Rightarrow$ Đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIK$ đi qua $B,C$ cố định.
$\Rightarrow \(BC \le2R.\) Vậy \(R_{min}=\dfrac{BC}{2}\) \(M\equiv A\)
Hình ảnh chỉ mang tính chất minh họa
