a: Xét ΔBDC có
M là trung điểm của BD
N là trung điểm của BC
Do dó: MN là đường trung bình
=>MN//DC
hay MN//AC
Xét ΔBDC có
Mlà trung điểm của BD
I là trung điểm của DC
Do đó; MI là đường trung bình
=>MI//BC và MI=BC/2
=>MI=AN
Xét tứ giác AMNI có MN//AI
nên AMNI là hình thang
mà MI=AN
nên AMNI là hình thang cân
b: \(BC=\dfrac{AB}{\sin C}=8\left(cm\right)\)
\(AC=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)
Xét ΔABC có BD là phân giác
nên AD/AB=DC/BC
hay \(\dfrac{AD}{1}=\dfrac{DC}{2}=\dfrac{AD+DC}{1+2}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\)
Do đó: \(AD=\dfrac{4\sqrt{3}}{3};DC=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\)
\(BD=\sqrt{4^2+\left(\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)\)
\(AM=NI=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)\)
\(MN=\dfrac{DC}{2}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)\)
\(AI=AD+DI=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}+\dfrac{4\sqrt{3}}{3}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)\)
