Question

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). Vẽ đường cao AH (H thuộc BC).

a) Chứng minh: tam giác ABH ~ tam giác CBA. Từ đó suy ra AB²= BH.BC

b) Trên tia HC, lấy HD=HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. C/m: CE.CA=CD.CB

c) C/m: AE=AB

d) Gọi M là trung điểm BC. CMR: AH.BM = AB.HM + AM.BH

Answer 1

a) Ta có:

\(\widehat{ABH}+\widehat{C_1}=90^0\) (2 góc phụ nhau) (1)

\(\widehat{ABH}+\widehat{A_1}=90^0\) (2 góc phụ nhau) (2)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{A_1}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABH}\)) (3)

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta CBA\) ta có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^0\) (4)

Từ (3), (4) \(\Rightarrow\Delta ABH\sim\Delta CBA\) (G-G) (5)

Từ (5) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BH}{AB}\)\(\Leftrightarrow AB^2=BH.BC\)

b) Ta có: DE // AH (gt)

Mà AH \(\perp\) BC (gt)

\(\Rightarrow DE\perp BC\Rightarrow\widehat{CDE}=90^0\)

Xét \(\Delta CED\) và \(\Delta CBA\) ta có:

\(\widehat{C_1}\) là góc chung (6)

\(\widehat{CDE}=\widehat{CAB}=90^0\) (7)

Từ (6), (7) \(\Rightarrow\Delta CED\sim\Delta CBA\) (G-G) (8)

Từ (8) \(\Rightarrow\dfrac{CE}{CB}=\dfrac{CD}{CA}\Leftrightarrow CE.CA=CD.CB\) (9)

c) (9) \(\Leftrightarrow\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CD}{CE}\) (10)

Vì DE // AH, theo định lý Ta-lét ta có:

\(\dfrac{CE}{AE}=\dfrac{CD}{HD}\Leftrightarrow CE.HD=CD.AE\Leftrightarrow\dfrac{HD}{AE}=\dfrac{CD}{CE}\) (11)

Xét \(\Delta CHA\) và \(\Delta CAB\) ta có:

\(\widehat{CHA}=\widehat{CAB}=90^0\) (12)

Từ (6), (12) \(\Rightarrow\Delta CHA\sim\Delta CAB\) (G-G) (13)

Từ (13) \(\Rightarrow\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{HA}{AB}\) (13)

Từ (10), (11), (13) \(\Rightarrow\dfrac{HD}{AE}=\dfrac{HA}{AB}\) (14)

Mà \(\widehat{DHA}=\widehat{ABE}=90^0\) (15)

Từ (14), (15) \(\Rightarrow\Delta DHA\sim\Delta BAE\) (C-G-C) (16)

Từ (16) \(\Rightarrow\widehat{D_1}=\widehat{B_1}\) (17)

Và \(\widehat{A_2}=\widehat{E_1}\) (18)

Mà HA = HD (gt)

Nên \(\Delta DHA\) vuông cân tại H

\(\Rightarrow\widehat{A_2}=\widehat{D_1}\) (19)

Từ (17), (18), (19) \(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{E_1}\)

\(\Rightarrow\Delta BAE\) vuông cân tại A

\(\Rightarrow AB=AE\)

Answer 2

a+b)

Xét \(\Delta ABH,\Delta CBA\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B}:Chung\\\widehat{BAC}=\widehat{BHA}=90^o\end{matrix}\right.\)

=> \(\Delta ABH\sim\Delta CBA\left(g.g\right)\)

=> \(\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{AB}{BC}\)

=> \(AB^2=BH.BC\left(đpcm\right)\)

Xét \(\Delta ACH,\Delta CED\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{C}:chung\\\widehat{CAH}=\widehat{CED}\left(\text{đồng vị}\right)\end{matrix}\right.\)

=> \(\Delta ACH\sim\Delta CED\left(g.g\right)\)

=> \(\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{CA}{CH}\)(1)

Xét \(\Delta AHC,\Delta CAB\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{C}:chung\\\widehat{CHA}=\widehat{BAC}=90^o\end{matrix}\right.\)

=> \(\Delta AHC\sim\Delta CAB\left(g.g\right)\)

=> \(\dfrac{CA}{CH}=\dfrac{CB}{CA}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{CB}{CA}\left(=\dfrac{CA}{CH}\right)\)

=> \(CE.CA=CD.CB\)

=> đpcm.