Question

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB<AC) đường cao AH.

a) C/m \(\frac{AB^2}{AC^2}\)= \(\frac{BH}{CH}\)

b) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với trung tuyến AM cắt AH tại D. cắt AM tại E và AC tại F. C/m D là trung điểm của BF và BE.BF=BH.BC

Answer 1

a, Xét △ABC vuông tại A có đường cao AH :

\(AB^2=BH.BC\) (hệ thức lượng) (1)

và \(AC^2=CH.BC\) (hệ thức lượng)

\(\Rightarrow\) \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH.BC}{CH.BC}=\frac{BH}{CH}\) (ĐPCM)

b, +) Xét △ABC có AM là đường trung tuyến

\(\Rightarrow\) AM = BM = CM (Tính chất đường trung tuyến trong tam giác)

\(\Rightarrow\) △ABM cân tại M

mà BE và AH là đường cao △ABM

BE cắt AH tại D

\(\Rightarrow\) D là trực tâm △ABM

\(\Rightarrow\) MD ⊥ AB

mà AC ⊥ AB

\(\Rightarrow\) MD // AC (hay FC)

Xét △BFC có :

MD // FC ; BM = MC = \(\frac{1}{2}\) BC

\(\Rightarrow\) BD = DF = \(\frac{1}{2}\) BF

\(\Rightarrow\) D là trung điểm BF

+) Xét △ABF vuông tại A có đường cao AE :

\(AB^2=BE.BF\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) BE.BF = BH.BC (ĐPCM)