1) Xét ΔABM và ΔDCM có
AM=DM(gt)
\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)(hai góc đối đỉnh)
BM=CM(M là trung điểm của BC)
Do đó: ΔABM=ΔDCM(c-g-c)
⇒AB=CD(hai cạnh tương ứng)
2) Ta có: AB=CD(cmt)
mà AB<AC(gt)
nên CD<AC
Xét ΔCAD có
CD<AC(cmt)
mà góc đối diện với cạnh CD là \(\widehat{CAD}\)
và góc đối diện với cạnh AC là \(\widehat{ADC}\)
nên \(\widehat{CAD}< \widehat{CDA}\)
hay \(\widehat{CAM}< \widehat{CDM}\)
3) Ta có: AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của ΔABC vuông tại A(gt)
nên \(AM=\frac{BC}{2}\)(tính chất)
hay BC=2AM(1)
Ta có: AM=MD(gt)
mà A,M,D thẳng hàng
nên M là trung điểm của AD
hay AD=2AM(2)
Từ (1) và (2) suy ra BC=AD
Xét ΔABC và ΔDCA có
CD=AB(cmt)
CA là cạnh chung
BC=AD(cmt)
Do đó: ΔABC=ΔDCA(c-c-c)
⇒\(\widehat{CAB}=\widehat{ACD}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{CAB}=90^0\)(gt)
nên \(\widehat{ACD}=90^0\)
Xét ΔABI vuông tại A và ΔCDI vuông tại C có
AB=CD(cmt)
AI=CI(I là trung điểm của AC)
Do đó: ΔABI=ΔCDI(hai cạnh góc vuông)
⇒IB=ID(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔIBD có IB=ID(cmt)
nên ΔIBD cân tại I(định nghĩa tam giác cân)
