vẽ I thuộc AG sao cho AI=IG
I I' vuông góc vs B'C'
đường trung tuyến AM
MM' vuông góc vs B'C'
xét \(\Delta AGA'\)có AI=IG
I I' // AA' ( cùng vuông góc vs B'C' )
=>A'I' = I'G ( t/c đường trung bình của tam giác )
=>I I' là đường trung bình của tam giác AGA'
=>I I' = AA'/2 => 2I I' = AA' (1)
xét \(\Delta IGI'\)vuông tại I'
\(\Delta MGM'\)vuông tại M'
có IG = MG ( AM là đường trung tuyến mà G là trọng tâm =>GM=AG/2 mà I là trung điểm của AG )
\(\widehat{IGI'}=\widehat{MGM'}\)( 2 góc đối đỉnh)
=>\(\Delta IGI'=\Delta MGM'\)(ch-gn)
=>I I' = MM' (2 cạnh tương ứng) (2)
từ (1) và (2) => 2MM' = AA'
xét tứ giác BB'CC'
có BB' // CC' ( cùng vuông góc với B'C' )
=> BB'CC' là hình thang
có BM = MC ( vì AM là đường trung tuyến )
=>B'M' = M'C' ( t/c đường trung bình của Hthang )
=> MM' là đường trung bình của Hthang BB'CC'
=> MM'= \(\dfrac{BB'+CC'}{2}\)
=> 2MM' = BB' + CC'
mà 2MM' = AA' (cm trên)
=> BB' + CC' = AA'
