Question

Cho tam giác ABC, O là điểm cách đều ba cạnh. Trên tia BC lấy điểm M sao cho BM=BA. Trên tia CB lấy điểm N sao cho CN=CA. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của O trên BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

a) NE=MF.

b)Tam giác MON là tam giác cân.

Answer 1

a) O cách đều 3 cạnh nên O là giao của 3 đường phân giác của Δ ABC

Xét Δ ABO và Δ MBO có: Cạnh BO chung, B1=B2,AB=BM⇒ Δ ABO = Δ MBO (c.g.c) ⇒ OA = OM (1)

Tương tự có Δ ACO = Δ NCO (c.g.c) ⇒ AO = ON (2).

Từ (1) và (2) ⇒ ON = OM hay Δ MON cân tại O.

Mà OD⊥ BC ⇒ OD vừa là đường cao vừa là đường phân giác ⇒ NOD=MOD.

Ta có: FOM^ =FOD+ MOD =1800−ABC+MOD

EON=3600−NOD−EOD= 3600−NOD^−(1800−ACB) = 1800+ACB−NOD

Ta chứng minh FOM=EON.

Thật vậy FOM=EON

⇔1800−ABC+MOD = 1800+ACB−NOD

⇔1800−(ABC+ACB)=1800−(NOD+MOD)

⇔BAC=ONM+OMN.

⇔A1+A2=ONM+OMN

Luôn đúng vì {A1=OMN(ΔABO=ΔMBO);A2=ONM(ΔAOC=ΔNOC)

Vậy ΔFOM=ΔEON (c.g.c)

⇒ FM = EN

Answer 2

Dễ mà.