Lời giải:
a)
Vì $K,H$ đối xứng qua $AC$ nên \(\Rightarrow CA\perp KH\)
Mà \(HE\perp AC\Rightarrow K,H,E\) thẳng hàng
\(\Rightarrow B,K,H,E\) thẳng hàng.
Ta có:
\(\widehat{ABK}=\widehat{ABE}=90^0-\widehat{A}\)
\(\widehat{ECH}=\widehat{ACF}=90^0-\widehat{A}\)
\(\Rightarrow \widehat{ABK}=\widehat{ECH}(1)\)
Xét tam giác $CEK$ và $CEH$ có:
\(CE\) chung
\(EK=EH\) (do tính đối xứng)
\(\widehat{CEK}=90^0=\widehat{CEH}\)
\(\Rightarrow \triangle CEK=\triangle CEH(c.g.c)\Rightarrow \widehat{ECH}=\widehat{ECK}=\widehat{ACK}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \widehat{ABK}=\widehat{ACK}\). Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh $AK$
\(\Rightarrow ABCK\) là tứ giác nội tiếp
b)
Xét tứ giác $FHDB$ có \(\widehat{HFB}+\widehat{HDB}=90^0+90^0=180^0\) nên $FHDB$ là tứ giác nội tiếp
Tương tự $EHDC,AFHE$ cũng là tgnt
Xét tứ giác $FECB$ có \(\widehat{BFC}=\widehat{CEB}=90^0\) và cùng nhìn cạnh $BC$ nên $FECB$ là tứ giác nội tiếp.
Theo tính chất tgnt thì:
\(\widehat{HDF}=\widehat{HBF}=\widehat{ECH}=\widehat{EDH}\)
\(\Rightarrow DH\) là pg góc \(\widehat{FDE}\)
\(\widehat{DEH}=\widehat{DCH}=\widehat{FAH}=\widehat{FEH}\)
\(\Rightarrow EH\) là pg góc \(\widehat{FED}\)
Do đó $H$ giao điểm của các đường phân giác trong tam giác $DEF$, nghĩa la $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$ (đpcm)
