Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD và CE cắt nhau tại H. Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác BDH cắt đường tròn (O) tại M (M khác B). Vẽ đường kính BF của đường tròn (O).
a) Chứng minh rằng: Đường trung trực của đoạn HD đi qua điểm I.
b) Gọi N là giao điểm của HF và AC. Chứng minh NE là tiếp tuyến của đường tròn (I).
c) Chứng minh ba điểm M, H, F thẳng hàng.
Lời giải:
a) \(AD\perp BC\Leftrightarrow HD\perp BD\)
Do đó tam giác $BHD$ vuông tại $D$. Suy ra tâm ngoại tiếp $I$ chính là trung điểm của $HB$
Theo tính chất của tam giác vuông \(\Rightarrow IH=ID(=\frac{HB}{2})\Rightarrow I\) nằm trên trung trực của $HD$
Ta có đpcm.
b) Vì $BF$ là đường kính của $(O)$ nên:
\(BC\perp CF\)
\(AB\perp AF\)
Mà theo giả thiết, \(AH\perp BC; CH\perp AB\)
\(\Rightarrow CF\parallel AH; CH\parallel AF\). Do đó $AFCH$ là hình bình hành.
\(\Rightarrow HF ; AC\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Từ đây suy ra $N$ là trung điểm $AC$
Tam giác $AEC$ vuông tại $E$ có $N$ là trung điểm của $AC$ nên $NE=NC$
\(\Rightarrow \triangle NEC\) cân tại $N$
\(\Rightarrow \angle NEC=\angle NCE\)
Mà: \(\angle NEC=\angle NEH\)
\(\angle NCE=90^0-\angle A=\angle ABH=\angle EBH\)
\(\Rightarrow \angle NEH=\angle EBH\).
Do đó $NE$ là tiếp tuyến của (I)$
c)
Vì $BF$ là đường kính. $M$ nằm trên $(O)$ nên \(MB\perp MF\)
Xét đường tròn $(I)$ có $BH$ là đường kính, $M$ nằm trên $(I)$ nên
\(MB\perp MH\)
Từ hai điều trên suy ra \(MF\parallel MH\Rightarrow M,H,F\) thẳng hàng.