Cho tam giác ABC, K là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B kẻ tia Ax vuông góc với AC; trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM=AC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C, kẻ tia Ay vuông góc với AB; trên tia Ay lấy điểm N sao cho AN=AB. Lấy điểm P trên ta AK sao cho AK=KP. Chứng minh.
a) tam giác AKC bằng tam giác PKB.
b) AC// BP.
c) tam giác ABP bằng tam giác NAM.
d) Chứng minh AK vuông góc với MN.
(mk đã làm dc câu a và câu d rùi. Các bạn giúp mk làm những bài còn lại nhé.
a, Xét \(\Delta AKC\) và \(\Delta PKB\) có:
AK = KP (gt)
\(\widehat{AKC}=\widehat{PKB}\) (đối đỉnh)
KC = KB (gt)
\(\Rightarrow\Delta AKC=\Delta PKB\) (c.g.c)
b, Từ \(\Delta AKC=\Delta PKB\Rightarrow\widehat{CAK}=\widehat{KPB}\) và AC = BP
Vì \(\widehat{CAK};\widehat{PKB}\) là cặp góc so le trong nên AC // BP
c, Có: \(\widehat{ABP}+\widehat{BAC}=180^o\Rightarrow\widehat{ABP}=180^o-\widehat{BAC}\) (1)
\(\widehat{NAM}+\widehat{MAC}+\widehat{BAC}+\widehat{NAB}=360^o\)
\(\Rightarrow\widehat{NAM}=360^o-\widehat{MAC}-\widehat{BAC}-\widehat{NAB}=360^o-90^o-\widehat{BAC}-90^o=180^o-\widehat{BAC}\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{ABP}=\widehat{NAM}\)
Lại có: AC = BP (theo câu b)
AM = AC (gt)
=> BP = AM
Xét \(\Delta ABP\) và \(\Delta NAM\) có:
\(\widehat{ABP}=\widehat{NAM}\left(cmt\right)\)
BP = AM (cmt)
AB = AN (gt)
\(\Rightarrow\Delta ABP=\Delta NAM\left(c.g.c\right)\)
d, Từ \(\Delta ABP=\Delta NAM\Rightarrow\widehat{BAP}=\widehat{ANM}\)
Gọi H là giao điểm của AK với MN
Ta có: \(\widehat{HAN}+\widehat{NAB}+\widehat{BAP}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{HAN}+\widehat{BAP}=90^o\) hay \(\widehat{HAN}+\widehat{ANM}=90^o\)
Ta có: \(\widehat{HAN}+\widehat{ANM}+\widehat{NHA}=180^o\Rightarrow\widehat{NHA}=90^o\)
=> AK _|_ MN tại H
