a) Xét tứ giác AFHE có
\(\widehat{EAF}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), E∈AB, F∈AC)
\(\widehat{AEH}=90^0\)(HE⊥AB)
\(\widehat{AFH}=90^0\)(HF⊥AC)
Do đó: AFHE là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b) Ta có: ΔAHB vuông tại H(AH⊥BC)
nên \(\widehat{B}+\widehat{BAH}=90^0\)(Hai góc nhọn phụ nhau)(1)
Ta có: tia AH nằm giữa hai tia AB,AF
nên \(\widehat{BAH}+\widehat{HAF}=\widehat{BAF}\)
hay \(\widehat{BAH}+\widehat{HAF}=90^0\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{B}=\widehat{HAC}\)(3)
Gọi D là giao điểm của EF và AH
Ta có: AEHF là hình chữ nhật(cmt)
nên Hai đường chéo AH và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau(Định lí hình chữ nhật)
mà AH cắt EF tại D(theo cách gọi)
nên \(AD=DH=\frac{AH}{2}\) và \(DE=DF=\frac{FE}{2}\)
mà AH=FE(cmt)
nên AD=DH=DE=DF
hay DA=DF
Xét ΔDAF có DA=DF(cmt)
nên ΔDAF cân tại D(Định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{DAF}=\widehat{DFA}\)(hai góc ở đáy)
hay \(\widehat{HAC}=\widehat{AFE}\)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{AFE}=\widehat{B}\)(5)
Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)
nên \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)(6)
Gọi O là giao điểm của AI và EF
Vì AI⊥EF nên AO⊥OF tại O
Xét ΔAOF có AO⊥OF tại O(cmt)
nên ΔAOF vuông tại O(Định nghĩa tam giác vuông)
⇒\(\widehat{OAF}+\widehat{AFO}=90^0\)(Hai góc nhọn phụ nhau)
hay \(\widehat{IAC}+\widehat{AFE}=90^0\)(7)
Từ (5), (6) và (7) suy ra \(\widehat{IAC}=\widehat{ICA}\)(10)
Xét ΔICA có \(\widehat{IAC}=\widehat{ICA}\)(cmt)
nên ΔICA cân tại I(Định nghĩa tam giác cân)
⇒IA=IC(8)
Ta có: tia AI nằm giữa hai tia AB,AC
nên \(\widehat{IAB}+\widehat{IAC}=\widehat{BAC}\)
hay \(\widehat{IAB}+\widehat{IAC}=90^0\)(9)
Từ (6), (9) và (10) suy ra \(\widehat{IAB}=\widehat{B}\)
Xét ΔIAB có \(\widehat{IAB}=\widehat{B}\)(cmt)
nên ΔIAB cân tại I(Định nghĩa tam giác cân)
⇒IA=IB(11)
Từ (8) và (11) suy ra IB=IC
mà I,B,C thẳng hàng
nên I là trung điểm của BC
