Cho tam giác ABC có góc A nhọn và AB nhỏ hơn AC . Vẽ về phía ngoài của tam giác các tam giác vuông cân ADB và AEC kẻ AH vuông góc với BC tại H , gọi K là giao điểm của AH và DE kẻ DM vuông góc với AK tại M kẻ EN vuông góc với AK tại N chứng minh rằng
a, tam giác ABH bằng tam giác DAM
b, AH bằng EN
c, K là trung điểm của DE
a,
Xét ∆ABH và ∆DAM vuông, ta có:
- AB = AD [∆ABD vuông cân tại A]
- \(\widehat{ABH}=\widehat{DAM}\) [cùng phụ \(\widehat{BAH}\)]
=> ∆ABH = ∆DAM [ch-gn]
b,
Xét ∆ACH và ∆EAN, ta có:
- AC = AE [∆ACE vuông cân tại A]
- \(\widehat{ACH}=\widehat{NAE}\) [cùng phụ \(\widehat{HAC}\)]
=> ∆ACH = ∆EAN [ch-gn]
=> AH = EN
c,
Vì ∆ABH = ∆DAM [cmt]
=> AH = DM
Mà AH = NE [câu b]
=> DM = NE
∆DKM và ∆EKN có:
\(\widehat{M}=\widehat{N}=90^o\)
\(\widehat{DKM}=\widehat{EKN}\left(đ^2\right)\)
=> \(\widehat{KDM}=\widehat{KEN}\)
Xét ∆DKM và ∆EKN, ta có:
- \(\widehat{M}=\widehat{N}=90^o\) [gt]
- DM = EN [cmt]
- \(\widehat{KDM}=\widehat{KEN}\left(cmt\right)\)
=> ∆DKM = ∆EKN [g-c-g]
=> KD = KE
=> K là trung điểm DE
