Question

cho tam giác ABC có góc A = 60^o các tia phân giác trong góc B và góc C cắt nhau tại I, BI cắt AC ở E, CI cắt AB ở F. chứng minh IE = IF

Answer 1

Ta có hình vẽ:

Vẽ IR là phân giác của BIC => BIR = CIR = \(\frac{BIC}{2}\)

Vì BI là phân giác của ABC nên ABI = CBI = \(\frac{ABC}{2}\)

CI là phân giác của BCA nên BCI = ACI = \(\frac{ACB}{2}\)

Δ ABC có: ABC + BAC + BCA = 180^o

=> ABC + 60^o + BCA = 180^o

=> ABC + BCA = 180^o - 60^o = 120^o

=> \(\frac{ABC}{2}+\frac{BCA}{2}=\frac{120^o}{2}=60^o\)

=> IBC + BCI = 60^o

Xét Δ BIC có: BIC + IBC + BCI = 180^o

=> BIC + 60^o = 180^o

=> BIC = 180^o - 60^o = 120^o

=> \(\frac{BIC}{2}=\frac{120^o}{2}\)

=> BIR = RIC = 60^o

Ta có: BIC + BIF = 180^o (kề bù) (*)

=> 120^o + BIF = 180^o

=> BIF = 180^o - 120^o = 60^o

Xét Δ BIF và Δ BIR có:

FBI = RBI (gt)

BI là cạnh chung

BIF = BIR = 60^o

Do đó, Δ BIF = Δ BIR (g.c.g)

=> Δ BIF = Δ BIR (g.c.g)

=> IE = IR (2 cạnh tương ứng) (1)

Ta có: BIC + CIE = 180^o (kề bù)

Kết hợp với (*) => BIF = CIE = 60^o

Xét Δ ICR và Δ ICE có:

RCI = ECI (gt)

IC là cạnh cung

RIC = EIC = 60^o

Do đó, Δ ICR = Δ ICE (g.c.g)

=> IR = IE (2 cạnh tương ứng)

Từ (1) và (2) => IF = IE (đpcm)