Question

Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Biết \(tan\left(\dfrac{A}{2}\right).tan\left(\dfrac{C}{2}\right)=\dfrac{x}{y}\) với x,y thuộc N và x,y nguyên tố cùng nhau. Giá trị 2x+y là?

Answer 1

\(\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}=2R\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2R.sinA\\b=2R.sinB\\c=2R.sinC\end{matrix}\right.\)

\(a+c=2b\Rightarrow2R.sinA+2R.sinC=4R.sinB\)

\(\Rightarrow sinA+sinC=2sinB\)

\(\Rightarrow2sin\left(\dfrac{A+C}{2}\right)cos\left(\dfrac{A-C}{2}\right)=2sinB\)

\(\Rightarrow cos\left(\dfrac{B}{2}\right)cos\left(\dfrac{A-C}{2}\right)=2sin\left(\dfrac{B}{2}\right).cos\left(\dfrac{B}{2}\right)\)

\(\Rightarrow cos\left(\dfrac{A-C}{2}\right)=2sin\left(\dfrac{B}{2}\right)=2cos\left(\dfrac{A+C}{2}\right)\)

\(\Rightarrow cos\left(\dfrac{A}{2}\right)cos\left(\dfrac{C}{2}\right)+sin\left(\dfrac{A}{2}\right)sin\left(\dfrac{C}{2}\right)=2cos\left(\dfrac{A}{2}\right)cos\left(\dfrac{C}{2}\right)-2sin\left(\dfrac{A}{2}\right)sin\left(\dfrac{C}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow3sin\left(\dfrac{A}{2}\right)cos\left(\dfrac{C}{2}\right)=cos\left(\dfrac{A}{2}\right)cos\left(\dfrac{C}{2}\right)\)

\(\Rightarrow tan\left(\dfrac{A}{2}\right)tan\left(\dfrac{C}{2}\right)=\dfrac{1}{3}\)