Question

Cho tam giác ABC có AD, BE, CF theo thứ tự là phân giác trong các góc A, B, C. Gọi I và K là các điểm đối xứng với A qua BE và CF; G và H đối xứng với B và C qua AD. CMR:

a) A, G,C thẳng hàng; A,B,H thẳng hàng; G,D,H thẳng hàng.

b) IG//HK

Answer 1

a.Vì đối xứng qua AD

\(\rightarrow\widehat{DAB}=\widehat{DAG}\)

Mà AD là phân giác

\(\widehat{BAC}\rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\)

\(\rightarrow\widehat{DAG}=\widehat{DAC}\) thẳng hàng

Chứng minh tương tự thẳng hàng $

Lại có đối xứng qua AD và đối xứng qua AD

\(\rightarrow\Delta ADH=\Delta ADC\left(c.c.c\right)\rightarrow\widehat{AHD}=\widehat{ACB}\)

Mà \(\Delta AHG=\Delta ABC\left(c.g.c\right)\rightarrow\widehat{AHG}=\widehat{ACB}\)

\(\rightarrow\widehat{AHD}=\widehat{AHG}\)\(\rightarrow\) thẳng hàng

b.Ta có :\(\frac{DG}{DH}=\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\)

\(\rightarrow BD=\frac{AB}{AC}.DC\)

\(\frac{DI}{DK}=\frac{BI-BD}{CK-DC}=\frac{AB-BD}{AC-CD}=\frac{AB-\frac{AB}{AC}.DC}{AC-CD}=\frac{AB}{AC}.\frac{AC-CD}{AC-CD}=\frac{AB}{AC}\)

\(\rightarrow\frac{DI}{DK}=\frac{DG}{DH}\rightarrow IG//HK\)