Cho tam giác ABC có AC=2AB. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM=AB. Tia phân giác cúa góc BAC cắt BM tại I
a) Chứng minh: Tam giác ABI=tam giác AMI. Từ đó suy ra AI vuông góc với BM
b) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho B là trung điểm của AD. Chứng minh DC song song với BM
c) Kéo dài AI cắt cạnh BC tại K và cắt CD tại E. Chứng minh: D,K,M thẳng hàng
Giúp mình câu b và c với ạ
a) Xét ΔABI và ΔAMI có
AB=AM(gt)
\(\widehat{BAI}=\widehat{MAI}\)(AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\), M∈AC)
AI là cạnh chung
Do đó: ΔABI=ΔAMI(c-g-c)
⇒\(\widehat{AIB}=\widehat{AIM}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{AIM}+\widehat{AIB}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AIM}=\widehat{AIB}=\frac{180^0}{2}=90^0\)
⇒AI⊥BM(đpcm)
b) Ta có: AC=2AB(gt)
mà AD=2AB(B là trung điểm của AD)
nên AC=AD
Xét ΔACD có AC=AD(cmt)
nên ΔACD cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{ACD}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔACD cân tại A)(1)
Xét ΔAMB có AM=AB(gt)
nên ΔAMB cân tại A(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{AMB}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(số đo của một góc ở đáy trong ΔAMB cân tại A)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ACD}=\widehat{AMB}\)
mà \(\widehat{ACD}\) và \(\widehat{AMB}\) là hai góc ở vị trí đồng vị
nên MB//CD(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
c, Ta có : AI vuông góc với BM ( theo a)
mà BM // DC (theo b)
=>AI vuông góc với DC hay AE vuông góc với DC
Xét tam giác DAC cân tại A có CB là đường trung tuyến và AE là đường cao đồng thời là đường trung tuyến.
mà AE cắt CB tại K (theo gt)
=>K là trọng tâm tam giác DAC (1)
Ta có M là trung điểm AC
=>DM là đường trung tuyến của tam giác DAC (2)
Từ (1)(2) => K,D,M thẳng hàng (đcpcm)