Question

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R). 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kẻ đường kính AK. Kéo dài AD cắt (O;R) tại M. Gọi I là trung điểm của BC
a) Cminh 3 điểm H I K thẳng hàng
b) Cminh tứ giác BMKC là hình thang cân
c) Nối OH cắt AI tại G. Cminh G là trọng tâm của tam giác ABC

Answer 1

a: Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔABK vuông tại B

=>BK\(\perp\)AB

mà CH\(\perp\)AB

nên CH//BK

Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔACK vuông tại C

=>AC\(\perp\)CK

mà AC\(\perp\)BH

nên BH//CK

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của BC

nên I là trung điểm của HK

=>H,I,K thẳng hàng

b: Xét (O) có

ΔAMK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔAMK vuông tại M

=>AM\(\perp\)MK

mà AM\(\perp\)BC

nên MK//BC

=> BMKC là hình thang

Ta có: B,M,K,C cùng thuộc (O)

=>BMKC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{MBC}+\widehat{MKC}=180^0\)

mà \(\widehat{MBC}+\widehat{BMK}=180^0\)(hai góc trong cùng phía, MK//BC)

nên \(\widehat{BMK}=\widehat{MKC}\)

Xét hình thang BMKC có \(\widehat{BMK}=\widehat{MKC}\)

nên BMKC là hình thang cân