Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O) các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M;N;P Chứng minh
1) Tứ giác CEHD nội tiếp
2) 4 điểm B;C;E;F cùng nằm trên 1 đường tròn
3) AE.AC=AH.AD AD.BC=BE.AC
4) H và M đối xứng nhau qua BC xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Tự vẽ hình
1) Vì AD,BE là hai đường cao của tam giác ABC
Nên: Góc ADC = Góc BEC = 90 độ
Hay góc HDC = góc HEC = 90 độ
=> Góc HDC + góc HEC = 180 độ
=> CEHD là tứ giác nội tiếp
2) Vì BE,CF là hai đường cao của tam giác ABC
Nên: Góc BFC = Góc BEC = 90 độ
=> BFEC là tứ giác nội tiếp ( hai góc bằng nhau có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện BC )
=> B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC
3) Xét tam giác AEH và tam giác ADC
Ta có: Góc AEH = góc ADC = 90 độ
Góc DAC chung
=> Tam giác AEH và ADC đồng dạng ( g-g )
=> \(\frac{AE}{AD}=\frac{AH}{AC}\) => AE.AC = AH.AD ( Đpcm )
Lại có:
\(AD.BC=BE.AC=2S_{ABC}\)
=> Đpcm
4) Vì BFEC nội tiếp ( câu 2 ) nên góc BEF = góc BCF
Vì CEHD nội tiếp ( câu 1 )nên góc DCH = góc HED
Hay góc BCF = góc BED
=> Góc BCF = Góc BED
=> BE là phân giác của góc FED (1)
Tương tự: CF là tia phân giác của EFD (2)
Mà BE cắt CF tại H (gt) (3)
Từ (1), (2), (3) => H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
