Question

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC), đường cao AD và BE. Tia phân giác của góc DAC cắt BE, BC theo thứ tự ở I và K. Tia phân giác của góc EBC cắt AD, AC theo thứ tự M và N. Chứng minh tam giác MINK là hình thoi

Answer 1

a. Gọi giao điểm của AK và BN là Q

Ta có: 

ˆDMB+ˆMBD=90∘DMB^+MBD^=90∘

Mà ˆAME+ˆMAE=90∘AME^+MAE^=90∘

ˆAME=ˆDMBAME^=DMB^ (2 góc đối đỉnh)

⇒ˆMBD=ˆMAE⇒ˆQAM=ˆMBD⇒MBD^=MAE^⇒QAM^=MBD^

Mà ˆAMN=ˆDMBAMN^=DMB^ (2 góc đối đỉnh)

⇒ˆAMN+ˆQAM=ˆDMB+ˆMBD=90∘⇒AMN^+QAM^=DMB^+MBD^=90∘

⇒ˆAQM=90∘⇒AQM^=90∘

Hay AK vuông góc với BN.

b. Theo câu a: AK vuông góc với BN tại Q

Mà BQ là phân giác của góc ˆIBKIBK^ 

Khi đó: tam giác IBK có đường cao là đường phân giác nên tam giác IBK cân tại B

Vậy BQ cũng là trung tuyến hay Q là trung điểm của IK.

Chứng minh tương tự: Q là trung điểm của MN

Xét tứ giác MINK có 2 đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường, MN vuông góc với IK

Vậy MINK là hình thoi.