Lời giải:
Đặt \(BA=BC=t\). Ký hiệu \(\widehat{ACB}=a\)
Xét tam giác $AEC$ và $DEC$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{ACE}=\widehat{DCE}(gt)\\ \widehat{AEC}=\widehat{DEC}=90^0\\ \text{EC chung}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \triangle AEC=\triangle DEC(g.c.g)\)
\(\Rightarrow AC=DC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}BA=\frac{t}{2}\)
Kẻ $AH$ vuông góc với $BC$
Theo các công thức lượng giác cơ bản ta có:
\(AH=\sin \widehat{ACB}.AC=\sin a.\frac{t}{2}\)
\(CH=\cos \widehat{ACB}.AC\Rightarrow BH=BC-\cos \widehat{ACB}.AC=t-\frac{t}{2}\cos a\)
Áp dụng đl Pitago:
\(AB^2=AH^2+BH^2\)
\(\Leftrightarrow t^2=\sin ^2a.\frac{t^2}{4}+(t-\frac{t}{2}\cos a)^2\)
\(\Leftrightarrow t^2=\sin ^2a.\frac{t^2}{4}+t^2+\frac{t^2}{4}\cos ^2a-t^2\cos a\)
\(\Leftrightarrow t^2=\frac{t^2}{4}(\sin ^2a+\cos ^2a)+t^2-t^2\cos a=\frac{t^2}{4}+t^2-t^2\cos a\)
\(\Rightarrow \frac{t^2}{4}=t^2\cos a\) (t>0)
\(\Rightarrow \cos a=\frac{1}{4}\)
